容斥原理在计数问题中的应用(小学奥数容斥原理公式大全)

【#小学奥数##小学奥数数题知识点包含排除原理#]经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思维是数学的核心，发展是数学的目标，思维方法是数学的灵魂。数学思维方法是数学知识的本质，是分析和解决数学问题的基本原理，是数学素养的重要内涵。它是培养学生良好思维品质的催化剂。以下是小编整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【第1章】

包含排除原则的概念：

计数时，注意不要重复或遗漏任何内容。为了避免重叠部分的重复计数，人们开发了一种新的计数方法。这种方法的基本思想是：先统计某个内容包含的所有对象的个数，不考虑重叠，然后排除统计时重复统计的数字，这样计算结果既不遗漏也不重复。这种计数方法称为包含排除原理。

包含-排除原则1

如果被统计的事物分为A类和B类两类，则A类和B类元素的个数之和=属于A类的元素个数+属于B类的元素个数——既属于A 类又属于B 类的元素。 (AB=A+B-AB)

包含-排除原则2

如果被统计的事物有A、B、C三类，则A类、B类、C类元素个数之和=A类元素个数+B类元素个数+ 类别C（即类别A）的元素数量也是类型B 的元素数量- 既是类型A 又是类型C 的元素数量- 既是类型B 又是类型C 的元素数量+ 同时为A 型、B 型和C 型的元素数量。 (ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC)

经典例子：

例1.一个班有30个男生，其中20个参加足球队，12个参加篮球队，10个参加排球队。据了解，没有人同时参加3支球队，并且每个人至少参加一支球队。足球队、篮球队均参加6人，篮球队、排球队均参加2人。那么有()人同时参加足球队和排球队。

测试点：重叠题。

分析：如图所示，假设参加足球队和排球队的人数均为x，那么根据包含排除原则，共有20+12+10-6-2-x=30。只需解方程即可。

答案：解：如图所示，假设参加足球队和排球队的人数均为x，则根据包含排除原则，有

有20+12+10-6-2-x=30，

求解得到x=4。

所以答案是：4。

点评：本题考查学生根据包含排除原则回答问题的能力。

例2.多元智能竞赛决赛只有3道题。据了解，（1）某学校25名学生参加比赛，每位学生至少解答一题； (2) 在所有未解决第一题的学生中，解决第二题的学生人数是解决第三题学生人数的两倍： (3) 只解决第一题的学生人数第一题比解决第一题的剩余学生人数多1； （4）只解决了一个问题的学生中，有一半没有解决第一个问题，那么只解决了第二个问题的学生人数是（）

答：根据“每个人至少回答三个问题之一”，可以看出回答情况分为7类：只回答第1题，只回答第2题，只回答第3题，只回答第3题第1 和第2 题，仅回答问题1 和3。仅回答问题2 和3。回答问题1、2 和3。

设每种类型的人数为a1,a2,a3,a12,a13,a23,a123

由(1)可知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…

由(2)可知：a2+a23=(a3+a23)2……

由(3)可知：a12+a13+a123=a1-1……

由(4)可知：a1=a2+a3……

然后由可得a23=a2-a32……

然后由可得a12+a13+a123=a2+a3-1

将代入可得

a24+a3=26

由于a2和a3都代表人数，因此可以求出它们的整数解：

当a2=6,5,4,3,2,1时，a3=2,6,10,14,18,22

又根据a23=a2-a32…，可知：a2a3

因此，满足条件的只有a2=6和a3=2。

那么我们可以推导出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，并检查是否满足所有条件。

因此，只解决了第二题的学生人数为a2=6。

【第2章】

1. 从1到500的所有自然数中，有多少个数字不是7或9的倍数？

2.六年级一个班有45名学生。大家参加暑期运动训练班。其中，足球班25名学生，篮球班20名学生，游泳班30名学生，足球和篮球班共10名学生。12人举报篮球。有多少人申请了这三个项目？

3、某学校六年级二班参加数学、英语、语文学习小组的有49人。其中数学组30人，英语组20人，语文组10人。老师告诉学生数学和语文都要参加。团里有3人。数学和英语都参加的人数以及英语和语文都参加的人数都是质数，而三个类型都参加的人数只有1人。求同时参加英语组和数学组的人数。

4、某班学生参加入学考试，获得满分的学生人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学和英语满分8人，数学、语文满分7人，语文、英语满分20人。其中，有9名学生在两门科目上取得满分，有3名学生在三门科目上均未取得满分。这个班最多有多少人？最少人数是多少？

5. 调查50名学生对春游去颐和园或动物园的态度。同意去颐和园的人数为35人，其余不同意；同意去动物园的学生比同意去颐和园的学生多3人。其余的不同意，另外两个不同意去两个地方的学生人数比同意去两个地方的学生人数多1。有多少学生赞成去颐和园，有多少学生不赞成去动物园？

6. 有多少人拥有分母为1001 的最简真分数？

7. * 给出了两道数学题。全班40人中，第一题答对的人有30人，第二题没有答对的人有12人，两题都答对的人有20人。

（1）问题2和问题1有多少人是错误的？

(2) 这两题有多少人都错了？

8、挖一张正方形纸，每边长10厘米，中间挖一个方孔，成为宽1厘米的正方形框。将五个这样的方框放在桌子上，形成这样的图案。桌面上这些盒子覆盖的部分的面积是多少平方厘米？

9. 数学竞赛包括填空题。小明答错了14 题，小亮答错了5 题，两人都答错了16 题。据了解，小明和小亮均答对了16题以上。如果他们回答了考试总数的一半，他们正确回答了多少个问题？

10. 从1到1998的自然数中，能被2整除但不能被3或7整除的数有多少？

【第3章】

奥数计数题的包含与排除原理分析

1、在桌子上放置三个面积各为50平方厘米的圆圈。两个圆的交面积分别为8、10、12平方厘米。三个圆的相交面积是5平方厘米。找到覆盖桌子的三个圆圈。区域？

2、某区有100名懂英语或日语的外语教师。其中懂英语的有75人，懂英语和日语的有20人。有多少人只懂日语？

3、某班数学优秀10人，英语优秀12人，双科优秀3人，两科均优秀26人。班上有多少人？

4、六年级某班春游，18人带了矿泉水，16人带了水果，28人至少带了这两种中的一种。有多少人两个都带了？

5. 从1到100的自然数中，有多少个数不能被2整除，或不能被3整除，或不能被5整除？